Question

12．（1）計算$\int_1^2$（$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$+$\frac{1}{x^2}$）dx；
（2）求由曲線y=$\sqrt{x}$，y=2-x，y=-$\frac{1}{3}$x所圍成圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定積分的計算法則計算即可，
（2）求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得所求面積為函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的定積分的值，再用定積分計算公式加以運(yùn)算即可得到本題答案．

解答 解：（1）算$\int_1^2$（$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$+$\frac{1}{x^2}$）dx=（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$）|${\;}_{1}^{2}$=2$\sqrt{2}$-$\frac{3}{2}$；
（2）畫出草圖，如圖所示．

解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}}\\{y=-\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$及$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{y=-\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$得交點(diǎn)分別為（1，1），（0，0），（3，-1）．
所以S=${∫}_{0}^{1}$[$\sqrt{x}$-（-$\frac{1}{3}$x）]dx+${∫}_{1}^{3}$[（2-x）-（-$\frac{1}{3}$x）]dx=${∫}_{0}^{1}$[$\sqrt{x}$+$\frac{1}{3}$x）]dx+${∫}_{1}^{3}$（2-$\frac{2}{3}$x）dx=（$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$+$\frac{1}{6}$x²）|${\;}_{0}^{1}$+（2x-$\frac{1}{3}$x²）|${\;}_{1}^{3}$=$\frac{5}{6}$+6-3-3+$\frac{1}{3}$=$\frac{13}{6}$．

點(diǎn)評 本題求兩條曲線圍成的曲邊圖形的面積，著重考查了定積分的幾何意義和積分計算公式等知識，屬于中檔題．