Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在非零實數(shù)l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的“l(fā)高調(diào)函數(shù)”．現(xiàn)給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=log₂^x為（0，+∞）上的“1高調(diào)函數(shù)”；
②函數(shù)f（x）=cos2x為R上的“π高調(diào)函數(shù)”；
③如果定義域為[-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上“m高調(diào)函數(shù)”，那么實數(shù)m的取值范圍是[-1，+∞）．
其中正確的命題是

①②

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)f（x）=lgx的圖象可得對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，且滿足高調(diào)函數(shù)定義，故f（x）=lgx為（0，+∞）上的m（m＞0）高調(diào)函數(shù)，1＞0滿足條件，可判斷①；
函數(shù)f（x）=cos2x為R上，周期為π的周期，且滿足高調(diào)函數(shù)定義，故f（x）=cos2x為R上的kπ（k∈Z）高調(diào)函數(shù)，k=-1時，滿足條件，可判斷②；
函數(shù)f（x）=x²在[-1，0]上為減函數(shù)，在[0，+∞）上是增函數(shù)，若滿足函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上“m高調(diào)函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞），可判斷③

解答：解：∵f（x）=log₂^x為增函數(shù)，∴當m＞0時，log₂（x+m）≥log₂^x，
∴函數(shù)f（x）=log₂^x為（0，+∞）上的m（m＞0）高調(diào)函數(shù)，1＞0，故①正確；
∵cos2（x+π）=cos2x，
∴函數(shù)f（x）=cos2x為R上的π高調(diào)函數(shù)，故②正確；
∵如果定義域為[-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調(diào)函數(shù)，
只有[-1，1]上至少需要加2，
那么實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞），故③不正確，
故答案為：①②

點評：此題屬于新定義的題型，涉及的知識有：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及基本初等函數(shù)的性質(zhì)，其中認真審題，弄清新定義的本質(zhì)，找到判斷的標準是解本題的關(guān)鍵．