Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）與直線： （），四點(diǎn)， ， ， 中有三個(gè)點(diǎn)在橢圓上，剩余一個(gè)點(diǎn)在直線上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)作直線交橢圓于， 兩點(diǎn)，使得，再過(guò)作直線，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)判斷點(diǎn)， ,點(diǎn)在橢圓C上,點(diǎn)在直線上,代入橢圓方程,即可求出橢圓的方程;
(2)分類討論,利用點(diǎn)差法求出直線的方程,可得直線恒過(guò)定點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ）解：由題意有3個(gè)點(diǎn)在橢圓C上，

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，則點(diǎn)， 一定在橢圓C上，

即，①

若點(diǎn)在橢圓C上，

則點(diǎn)必為橢圓C的左頂點(diǎn)，

而，則點(diǎn)一定不在橢圓C上，

故點(diǎn)在橢圓C上，點(diǎn)在直線l上，

所以，②

聯(lián)立①②可解得， ，

所以橢圓C的方程為．

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得直線l的方程為，

設(shè)， ，

當(dāng)時(shí)，設(shè)， ，顯然，

聯(lián)立

則，即，

又，即P為線段MN的中點(diǎn)，

故直線MN的斜率為，

又，所以直線的方程為，

即，

顯然恒過(guò)定點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線MN即，此時(shí)為x軸亦過(guò)點(diǎn)，

綜上所述， 恒過(guò)定點(diǎn)．

點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).