Question

將一個邊長為4的正方形鐵片的四角各截去一個邊長為x的小正方形，然后做成一個無蓋方盒．
（1）試把方盒的容積V表示為x的函數(shù)．
（2）x多大時，方盒的容積V最大？

Answer 1

考點：基本不等式,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題設(shè)知這個無蓋方盒的底面是邊長為4-2x的正方形，高為x的正四棱柱，由此能把方盒的容積V表示為x的函數(shù)．
（2）由（1）知V=（4-2x）²x，0＜x＜2，求導數(shù)，令V′=0，得x₁=

2

3

，x₂=2（舍）．由此得到函數(shù)的單調(diào)增和單調(diào)減區(qū)間，能求出這個方盒容積的最大值和取到最大值時x的值．

解答： 解：由于是在邊長為4的正方形鐵片的四角各截去一個邊長為x的小正方形做成一個無蓋方盒，
所以無蓋方盒的底面為正方形，且邊長為4-2x，高為x，
（1）所以，無蓋方盒的容積V=（4-2x）²x，0＜x＜2，
（2）∵V=（4-2x）²x，∴V′=12x²-32x+16；
令：V′（x）=0，即12x²-32x+16=0，
∴x=

2

3

或x=2，(0＜x＜2)，
∴x=

2

3

；
當x∈(0，

2

3

)時，V′（x）＞0；    
當x∈(

2

3

，2)時，V′（x）＜0．  
因此，x=

2

3

是函數(shù)f（x）的極大值點，也就是最大值點，且最大值為

128

27

．

點評：本題考查方盒容積的求法，考查利用導數(shù)求方盒容積的最大值，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．