Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+e^x-xe^x
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[-2，2]時，不等式f（x）＞m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，討論x＞0，x＜0，導(dǎo)數(shù)的符號，注意運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時，不等式f（x）＞m恒成立，即為當(dāng)x∈[-2，2]時，f（x）_min＞m，由（1）即可求出最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+e^x-xe^x．
∴f（x）的定義域為R，
f'（x）=x+e^x-（e^x+xe^x）=x（1-e^x），
當(dāng)x＜0時，1-e^x＞0，f'（x）＜0；當(dāng)x＞0時，1-e^x＜0，f'（x）＜0
∴f（x）在R上為減函數(shù)，
即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞）．
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時，不等式f（x）＞m恒成立，
即為當(dāng)x∈[-2，2]時，f（x）_min＞m．
由（1）可知，f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（2）=2-e²，
∴m＜2-e²時，不等式f（x）＞m恒成立．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間、求最值，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．