長度為(>0)的線段AB的兩個端點A、B分別在軸和y軸上滑動,點P在線段AB上,且滿足(A為常數(shù),且).

(1)求點P的軌跡方程C;

(2)當時,過點M(1,0)作兩條互相垂直的直線分別與曲線C相交于點N和Q(N、Q都異于點M),試問△MNQ能不能是等腰三角形?若能,請說明這樣的三角形有幾個;若不能,請說明理由.

解:(1)依題意,設(shè)點A、B的坐標分別為(,0)、(0,),點P的坐標為().

    由,得)

                               =().

    ∴  即

∵|AB|=,∴

,

∴點P的軌跡方程C是

(2)當時,曲線C的方程是,故點M(1,0)在曲線C上.

依題意,可知直線都不可能與坐標軸平行,可設(shè)直線方程為,

直線方程為,不妨設(shè)

消去y得

   

,又,得,

    ∴

           =

           =

    同理可得

                 =

    假設(shè)△MNQ是等腰三角形,則|MN|=|MQ|,

    即,

化簡得,

    ①

①式的判別式△=

若△=,解得,此時①式無解;

若△==0,解得,由①式得=1;

若△=>0,解得,由①式得

    (可以驗證≠1且>0).

綜上所述,△MNQ可以是等腰三角形,當0<時,這樣的三角形有一個;

時,這樣的三角形有三個.

練習冊系列答案
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A.向左平移個單位長度            B.向右平移個單位長度

C.向左平移個單位長度            D.向右平移個單位長度

 

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A.               B.               C.               D.

 

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