Question

已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為．

⑴若對(duì)任意的，組成公差為的等差數(shù)列，且，，求的值；

⑵若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，為常數(shù)，求證：數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件為．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）證明充要條件命題，要證明充分性和必要性同時(shí)成立即可。

【解析】

試題分析：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071112002200611313/SYS201307111201009196277122_DA.files/image002.png">成公差為的等差數(shù)列，

所以，                 2分

所以是公差為的等差數(shù)列，且

，             4分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071112002200611313/SYS201307111201009196277122_DA.files/image007.png">，所以

，

所以，所以．                 6分

⑵因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071112002200611313/SYS201307111201009196277122_DA.files/image011.png">，所以，   ①

所以，   ②

②－①，得， ③            8分

（ⅰ）充分性：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071112002200611313/SYS201307111201009196277122_DA.files/image015.png">，所以，代入③式，得

，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071112002200611313/SYS201307111201009196277122_DA.files/image018.png">，又，

所以，，所以為等比數(shù)列，              12分

（ⅱ）必要性：設(shè)的公比為，則由③得，

整理得，                 14分

此式為關(guān)于n的恒等式，若，則左邊，右邊，矛盾；

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以．

由（�。�、（ⅱ）可知，數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件為．       16分

考點(diǎn)：等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了等差數(shù)列求和以及通項(xiàng)公式的運(yùn)用，和等比數(shù)列的概念的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。