Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，M，N分別在AA₁和CC₁上，A₁M=CN=1，P是BC中點(diǎn)．
（1）求四面體A_1-PMN的體積；
（2）證明A₁B∥平面PMN．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由VA1-PMN=VP-A1MN，利用等積法能求出四面體A_1-PMN的體積．
（2）取CC₁的中點(diǎn)R，由已知條件推導(dǎo)出四邊形A₁RNM是平行四邊形，由此能證明平面A₁RB∥平面PMN，從而得到A₁B∥平面PMN．

解答： （1）解：取AC的中點(diǎn)O，由已知得BO⊥A₁MN，且BO=

3

，
∵P是BC中點(diǎn)，∴P到平面A₁MN的距離d=

1

2

BO=

3

2

，
又S△A1MN=

1

2

×1×2=1，
∴VA1-PMN=VP-A1MN=

1

3

S△A1MN×d=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

．
（2）證明：取CC₁的中點(diǎn)R，
∵P是BC的中點(diǎn)，N是RC的中點(diǎn)，∴PN∥BR，
又A₁M∥RN，A₁M=RN，
∴四邊形A₁RNM是平行四邊形，
從而A₁R∥MN，
又A₁R∩BR=R，∴平面A₁RB∥平面PMN，
又A₁B?平面A₁RB，∴A₁B∥平面PMN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四面體體積的求法，考查直線與平面平行的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．