Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)到的距離之和為4．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試判斷直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

（3）直線與直線交于點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）答案見(jiàn)解析．（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意，可得出，已知條件結(jié)合橢圓的定義得，再由求出，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)，，直線的方程從而得出，求出的方程，與橢圓聯(lián)立解方程求解，即可判斷出直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）由（2）知，直線的方程為：，與直線交于點(diǎn)，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式，可分別求出和，從而得出的值．

（1）設(shè)橢圓的焦距為，

因?yàn)?/span>，為橢圓的左右焦點(diǎn)，所以，

因?yàn)辄c(diǎn)到的距離之和為4，所以，即，

所以，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）設(shè)，，由點(diǎn)在橢圓上得，

直線的方程為，它與直線交于點(diǎn)，

所以，直線的方程為，結(jié)合，

直線的方程可化為．

與橢圓聯(lián)立，整理得，解得．

所以直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．

（3）由（2）知，直線的方程為：，

它與直線交于點(diǎn)，則，

，

所以，．