Question

6．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個焦點與拋物線y²=8x的焦點重合，點$P（2，\sqrt{2}）$在C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的一條弦被M（2，1）點平分，求這條弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）由拋物線方程得拋物線焦點F，從而得到橢圓的半焦距c，聯(lián)立方程組求解即可求橢圓的方程；
（2）設(shè)弦的兩個交點坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分別代入橢圓方程，由兩式作差得到弦所在直線的斜率，從而得到弦所在的直線方程．

解答 解：（1）由拋物線y²=8x，得拋物線焦點F（2，0），
∴橢圓的半焦距c=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4，
∴橢圓方程為：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）設(shè)弦的兩個交點坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1$，
兩式作差得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{8}=-\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}$，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{8（{y}_{1}+{y}_{2}）}=-\frac{4×4}{8×2}=-1$，
∴弦所在直線方程為：y-1=-1×（x-2），即x+y-3=0．

點評 本題主要考查橢圓方程的求解以及直線斜率的計算，利用直線和橢圓方程的位置關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力，是中檔題．