Question

在△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別a、b、c，B=

2π

3

，a=2csinA．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）=sin2x+4cosAcos²x的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a=2csinA，由正弦定理，即可求角C的大��；
（Ⅱ）利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閍=2csinA，由正弦定理得sinA=2sinCsinA，…（2分）
因?yàn)锳∈（0，π），所以sinA≠0，解得sinC=

1

2

． …（4分）
又因?yàn)?span id="yspjqzw" class="MathJye">B=

2π

3

，所以C∈(0，

π

2

)，所以C=

π

6

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A=

π

6

．…（8分）
所以f(x)=sin2x+2

3

cos2x=sin2x+

3

(1+cos2x)=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin(2x+

π

3

)+

3

．…（11分）
因?yàn)?span id="eygpcqt" class="MathJye">x∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
所以f（x）的最大值是2+

3

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．