Question

20．已知命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-5ax+4a²＜0，其中a＞0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-8≤0}\\{{x}^{2}+3x-10＞0}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-5ax+4a²＜0，解集A=（a，4a）．命題q：實(shí)數(shù)x滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-8≤0}\\{{x}^{2}+3x-10＞0}\end{array}\right.$，解集B=（2，4]．
a=1，且p∧q為真，求A∩B即可得出．
（Ⅱ）￢p：（-∞，a]∪[4a，+∞）．￢q：（-∞，2]∪（4，+∞）．利用￢p是￢q的充分不必要條件，即可得出．

解答 解：（I）命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-5ax+4a²＜0，其中a＞0，a＜x＜4a，解集A=（a，4a）．
命題q：實(shí)數(shù)x滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-8≤0}\\{{x}^{2}+3x-10＞0}\end{array}\right.$，解得2＜x≤4．解集B=（2，4]．
a=1，且p∧q為真，則A∩B=（1，4）∩（2，4]=（2，4）．
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（2，4）．
（Ⅱ）￢p：（-∞，a]∪[4a，+∞）．
￢q：（-∞，2]∪（4，+∞）．
若￢p是￢q的充分不必要條件，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{4a≥4}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法、充要條件的判定、集合的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．