Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=ae^x-xlnx，其中a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若$a≥\frac{2}{e^2}$，證明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f'（x）=ae^x-（1+lnx），f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)等價(jià)于f'（x）≥0恒成立．令f'（x）≥0，得$a≥\frac{1+lnx}{e^x}$，令$g（x）=\frac{1+lnx}{e^x}$（x＞0），求導(dǎo)得$g'（x）={e^{-x}}（{\frac{1}{x}-1-lnx}）$，令$h（x）=\frac{1}{x}-1-lnx$，$h'（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}＜0$，由此能求出a的取值范圍．
（Ⅱ）f（x）＞0?$\frac{{a{e^x}}}{x}-lnx＞0$．令F（x）=$\frac{a{e}^{x}}{x}-lnx$（x＞0），當(dāng)$a≥\frac{2}{e^2}$時(shí)，F(xiàn)（x）的最小值大于0．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)$a≥\frac{2}{e^2}$時(shí)，總有f（x）＞0．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=ae^x-（1+lnx），f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)等價(jià)于f'（x）≥0恒成立．
令f'（x）≥0，得$a≥\frac{1+lnx}{e^x}$，令$g（x）=\frac{1+lnx}{e^x}$（x＞0）．以下只需求g（x）的最大值．
求導(dǎo)得$g'（x）={e^{-x}}（{\frac{1}{x}-1-lnx}）$，
令$h（x）=\frac{1}{x}-1-lnx$，$h'（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}＜0$，h（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，
又h（1）=0，故1是h（x）的唯一零點(diǎn)，
當(dāng)x∈（0，1），h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞），h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）遞減；
故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極大值且為最大值$g（1）=\frac{1}{e}$，
所以$a≥\frac{1}{e}$，即a的取值范圍是$[{\frac{1}{e}，+∞}）$．
證明：（Ⅱ）f（x）＞0?$\frac{{a{e^x}}}{x}-lnx＞0$．
令F（x）=$\frac{a{e}^{x}}{x}-lnx$（x＞0），以下證明當(dāng)$a≥\frac{2}{e^2}$時(shí)，F(xiàn)（x）的最小值大于0．
求導(dǎo)得$F'（x）=\frac{{a（{x-1}）{e^x}}}{x^2}-\frac{1}{x}$=$\frac{1}{x^2}[{a（{x-1}）{e^x}-x}]$．
①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）≥F（1）=ae＞0；
②當(dāng)x＞1時(shí)，$F'（x）=\frac{{a（{x-1}）}}{x^2}$$[{{e^x}-\frac{x}{{a（{x-1}）}}}]$，令$G（x）={e^x}-\frac{x}{{a（{x-1}）}}$，
則G'（x）=e^x$+\frac{1}{{a{{（{x-1}）}^2}}}＞0$，又$G（2）={e^2}-\frac{2}{a}$=$\frac{{a{e^2}-2}}{a}≥0$，
取m∈（1，2）且使$\frac{m}{{a（{m-1}）}}＞{e^2}$，即$1＜m＜\frac{{a{e^2}}}{{a{e^2}-1}}$，則$G（m）={e^m}-\frac{m}{{a（{m-1}）}}$＜e²-e²=0，
因?yàn)镚（m）G（2）＜0，故G（x）存在唯一零點(diǎn)x₀∈（1，2），
即F（x）有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)x₀∈（1，2），又$F（{x_0}）=\frac{{a{e^{x_0}}}}{x_0}-ln{x_0}$，
且$G（{x_0}）={e^{x_0}}-\frac{x_0}{{a（{{x_0}-1}）}}=0$，即${e^{x_0}}=\frac{x_0}{{a（{{x_0}-1}）}}$，故$F（{x_0}）=\frac{1}{{{x_0}-1}}-ln{x_0}$，
因?yàn)?F'（{x_0}）=-\frac{1}{{{{（{{x_0}-1}）}^2}}}-\frac{1}{x_0}＜0$，故F（x₀）是（1，2）上的減函數(shù)．
所以F（x₀）＞F（2）=1-ln2＞0，所以F（x）＞0．
綜上，當(dāng)$a≥\frac{2}{e^2}$時(shí)，總有f（x）＞0．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式、函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想，是中檔題．