Question

若不等式x²+ax+1≥0對一切x∈（0，

1

2

]成立，則a的最小值為（　�。�

• A、-

  5

  2

• B、0
• C、-2
• D、-3

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：不等式x²+ax+1≥0對一切x∈（0，

1

2

]成立?a≥(-x-

1

x

)max，x∈（0，

1

2

]．令f（x）=-x-

1

x

，
x∈（0，

1

2

]．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：不等式x²+ax+1≥0對一切x∈（0，

1

2

]成立?a≥(-x-

1

x

)max，x∈（0，

1

2

]．
令f（x）=-x-

1

x

，x∈（0，

1

2

]．
f′(x)=-1+

1

x2

=

1-x2

x2

＞0，
∴函數(shù)f（x）在x∈（0，

1

2

]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=

1

2

時，函數(shù)f（x）取得最大值，f(

1

2

)=-

1

2

-2=-

5

2

．
∴a的最小值為-

5

2

．
故選：A．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．