Question

已知雙曲線b²x²-a²y²=a²b²上有一點(diǎn)P，其焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，且∠F₁PF₂=α，求證：S△F₁PF₂=b²cot

α

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理，可得|PF₁||PF₂|=

2b2

1-cosα

，利用S_△F1PF2=

1

2

|PF₁||PF₂|sinα，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：由b²x²-a²y²=a²b²得：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴|F₁F₂|=2c，且||PF₁|-|PF₂||=2a，
則|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=4a²．①
根據(jù)余弦定理|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cosα=4c²．②
②-①整理得：|PF₁||PF₂|=

2b2

1-cosα

，
∴S_△F1PF2=

1

2

|PF₁||PF₂|sinα=b²

sinα

1-cosα

=b²cot

α

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查用雙曲線的定義，余弦定理，考查三角形面積的計(jì)算，正確運(yùn)用用雙曲線的定義，余弦定理是關(guān)鍵．