Question

已知函數(shù)f（x）=2xlnx+x²-ax+3，其中a∈R．
（Ⅰ）設曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈[

1

e

，e]（e=2.718…）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導函數(shù)f'（x），然后求在x=1時的導數(shù)值，再與直線2x-y+1=0平行，斜率相等求得a的值，（Ⅱ）先將恒成立問題轉(zhuǎn)化為a≥g（x），然后利用導數(shù)求g（x）在x∈[

1

e

，e]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=2lnx+2+2x-a，
f'（1）=4-a=2⇒a=2．
（Ⅱ）f（x）≤0在x∈[

1

e

，e]恒成立?a≥2lnx+x+

3

x

在x∈[

1

e

，e]恒成立，
令g(x)=2lnx+x+

3

x

，則求得g（x）在x∈[

1

e

，e]上的最大值即可．
由g′(x)=

(x-1)(x+3)

x2

知，g（x）在[

1

e

，1]上遞減，在[1，e]上遞增，
故maxg(x)=max{g(

1

e

)，g(e)}=-2+

1

e

+3e．

點評：本題考察導數(shù)的基本應用，一是導數(shù)的幾何意義即切線斜率，二是利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求取最值，熟練掌握導數(shù)的應用是解決本類題目的關鍵．