如圖,在四棱錐P―ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面PAD是正三角形,且平面PAD⊥底面ABCD.
(1)求證:平面PAB⊥平面PAD
(2)求二面角A―PD―B的大小;
(3)設(shè)AB=1,求點(diǎn)D到平面PBC的距離.
解法一:
(1)證明:
又AB平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD
(2)解:取PD的中點(diǎn)E,連接AE,BE
∴AB⊥平面PAD ∴AE是BE在平面PAD上的射影,
∵△PAD是正三角形, ∴AE⊥PD,
由三垂線定理得BE⊥PD,∠AEB是二面角A―PD―B的平面角
在Rt△BAE中,
∴二面角A―PD―B的大小為
(3)解:取AD的中點(diǎn)F,連結(jié)AF,
∵平面PAD⊥平面ABCD,且PF⊥AD, ∴PF⊥平面BCD
設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為h,
在△PBC中,易知PB=PC=
又
即點(diǎn)D到平面PBC的距離為
解法二:
(1) 證明:建立空間直角坐標(biāo)系D―xyz,如圖
不妨設(shè)A(1,0,0)
則B(1,1,0),P(
由
由AB⊥AD, ∴AB⊥平面PAD
又AB平面PAB, ∴平面PAB⊥平面PAD
(2)解:設(shè)E為PD的中點(diǎn),則E(,
由
所以∠AEB是二面角A―PD―B的平面角
∴二面角A―PD―B的大小為
(3)解:取AD的中點(diǎn)F,連結(jié)PF,
∵平面PAD⊥平面ABCD,且PF⊥AD, ∴PF⊥平面BCD
設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為h,
在△PBC中,易知PB=PC=
又
即點(diǎn)D到平面PBC的距離為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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