Question

【題目】如圖,已知拋物線E:y2=4x與圓M:(x3)2+y2=r2(r>0)相交于A,B,C,D四個點.

(1)求r的取值范圍;

(2)設(shè)四邊形ABCD的面積為S,當S最大時,求直線AD與直線BC的交點P的坐標.

Answer 1

【答案】(1) r∈(2,3). (2) (,0).

【解析】

(1)聯(lián)立拋物線與圓的方程，利用判別式與韋達定理列不等式組，從而可得結(jié)果；(2)根據(jù)S=(+)·(x2x1)=(4+4)(x2x1)，利用韋達定理將S表示為關(guān)于r的函數(shù)，換元后利用導(dǎo)數(shù)可求當S最大時直線AD與直線BC的交點P的坐標.

(1)聯(lián)立拋物線與圓的方程

消去y,得x22x+9r2=0.

由題意可知x22x+9r2=0在(0,+∞)上有兩個不等的實數(shù)根,

所以解得2<r<3,即r∈(2,3).

(2)根據(jù)(1)可設(shè)方程x22x+9r2=0的兩個根分別為x1,x2(0<x1<x2),

則A(x1,2),B(x1, 2),C(x2, 2),D(x2,2),且x1+x2=2,x1x2=9r2,

所以S=(+)·(x2x1)=(4+4)(x2x1)

=2·=2·.

令t=∈(0,1),f(t)=S2=4(2+2t)(44t2)= 32(t3+t2t1),

f'(t)= 32(3t2+2t1)= 32(t+1)(3t1),可得f(t)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,1)上單調(diào)遞減,即當t=時,四邊形ABCD的面積取得最大值.

根據(jù)拋物線與圓的對稱性,可設(shè)P點坐標為(m,0),由P,A,D三點共線,可得=,整理得m==t=,

所以點P的坐標為(,0).