如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,DAB為直角,AB‖CD,AD=CD=24B,E、F分別為PC、CD的中點.

(Ⅰ)試證:CD平面BEF;

(Ⅱ)設(shè),且二面角E-BD-C的平面角大于,求的取值范圍.

解法一:

(I)證:由已知為直角,故是矩形,從而,又底面,,故由三垂線定理知,在中,分別為、的中點,故,從而,由此得.

(II)連接AC交BF于G,易知G為AC的中點,連接EG,則在中易知EGPA,又因PA底面ABCD,故EG底面ABCD,在底面ABCD中,過G作GHBD,垂足為H,連接EH,由三垂線定理知EHBD,從而為二面角E-BD-C的平面角。設(shè),則在中,有

     

圖1

以下計算,考慮底面的平面圖(如圖)。連接,

中,因從而得

因此

是銳角,故要使,必須

解之得,的取值范圍為

圖2

解法二:

(I)如圖,以A為原點,AB所在直線為軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為軸建立,空間直角坐標系,設(shè),則易知點的坐標分別為

從而

設(shè)中點,故

從而

由此得.

(II)設(shè)平面上的射影為G,過G作GH⊥BD垂足為H,由三垂線定理知GH⊥BD,從而∠EHG為二面角E-BD-C的平面角。

,

設(shè),則,

,即

                  ①

又因,且的方向相同,故,即

                  ②

由①②解得,從而

 

是銳角,由,得,即的取值范圍為

練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形,且PD=a,PA=PC=
2
a
,
(1)求證:PD⊥平面ABCD;(2)求二面角A-PB-D的平面角的大。

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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=
90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=
12
AD.
(Ⅰ)求證:CD⊥平面PAC;
(Ⅱ)側(cè)棱PA上是否存在點E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出點E的位置并證明,若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)求二面角A-PD-C的余弦值.

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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AD=BC=2,對角線AC⊥BD于O,∠DAO=60°,且PO⊥平面ABCD,直線PA與底面ABCD所成的角為60°,M為PD上的一點.
(Ⅰ)證明:PD⊥AC;
(Ⅱ)求二面角A-PB-D的大小.

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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F.
(1)證明PB⊥平面EFD;
(2)求二面角C-PB-D的大。
(3)求點A到面EBD的距離.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F(xiàn)分別是AB,PB的中點.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:EF⊥CD;
(3)設(shè)PD=AD=a,求三棱錐B-EFC的體積.

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