Question

已知等差數列{a_n}的各項均為正數，a₁=3，前n項和為S_n，{b_n}為等比數列，公比q=2，且a₂b₂=20，a₃b₃=56，
（1）求a_n與b_n
（2）求數列{a_nb_n}的前n項和T_n
（3）記C_n=，若C₁+C₂+C₃+…+C_n≥m²﹣對任意正整數n恒成立，求實數m 的取值范圍．

Answer 1

（1）a_n=2n+1； b_n=2ⁿ（2）T_n=（2n+1）2ⁿ⁺¹+2（3）[﹣，]

試題分析：（1）設{a_n}的公差為d，根據題意建立關于d與{b_n}首項b₁的方程組，解之可得b₁=d=2，從而得到a_n與b_n的表達式；
（2）由（1）得a_nb_n=（2n+1）2ⁿ，利用錯位相減法結合等比數列的求和公式，即可算出{a_nb_n}的前n項和T_n的表達式；
（3）根據等差數列的前n項和的表達式，化簡得到C_n===，從而利用裂項求和的方法求出C₁+C₂+C₃+…+C_n=1﹣，得到當n=1時它的最小值為．因此原不等式恒成立，即≥m²﹣，解之得﹣≤m≤，可得實數m的取值范圍．
解：（1）設{a_n}的公差為d，則
，解之得b₁=d=2
∴數列{a_n}的通項為a_n=3+2（n﹣1）=2n+1；數列{b_n}的通項為b_n=2ⁿ
（2）由（1）得a_nb_n=（2n+1）2ⁿ
∴T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）2ⁿ
兩邊都乘以2，得2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
兩式相減，得
﹣T_n=6+2（2²+2³+…+2ⁿ）﹣（2n+1）2ⁿ⁺¹，
=6+﹣（2n+1）2ⁿ⁺¹=﹣2+（1﹣2n）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n+1）2ⁿ⁺¹+2
（3）S_n=3n+×2=n²+2n
∴C_n===
由此可得C₁+C₂+C₃+…+C_n=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣
因此，當n=1時，C₁+C₂+C₃+…+C_n的最小值為
∵不等式C₁+C₂+C₃+…+C_n≥m²﹣對任意正整數n恒成立，
∴≥m²﹣，解之得﹣≤m≤，即實數m的取值范圍是[﹣，]．
點評：本題給出等差、等比數列，求它們的通項公式并求{a_nb_n}的前n項和T_n的表達式，討論與之有關的不等式恒成立的問題．著重考查了等差等比數列的通項公式與求和公式、錯位相減法與裂項求和的方法和不等式恒成立等知識點，屬于中檔題．