Question

9．已知f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的最小正周期為π，且f（$\frac{π}{4}}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求ω和φ的值； 
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；  
（3）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由周期求出ω，由特殊點求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的增區(qū)間．
（3）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
∵f$（{\frac{π}{4}}）$=cos$（{2×\frac{π}{4}+φ}）$=cos$（{\frac{π}{2}+φ}）$=-sinφ=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，∴φ=-$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可得f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（3）在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即函數(shù)的值域為[-$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象特征，由周期求出ω，由特殊點求出φ的值，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．