Question

一個(gè)圓臺(tái) 的母線長為12，兩底面面積分別為4π，25π，
（1）求這個(gè)圓臺(tái)的高及截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長；
（2）求這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積與體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形作出高AM，得到直角三角形ABM，求AM；通過相似三角形求SB．
（2）利用圓錐的側(cè)面是扇形，結(jié)合扇形的面積公式求圓臺(tái)的側(cè)面積．利用體積公式求體積．

解答： 解：（1）圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD（如圖）．由已知可得上底半徑O₁A=2，下底半徑OB=5．
又∵腰長為12，
∴高AM=

122-(5-2)2

=3

15

，
∴設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為x，
則由△SAO₁∽△SBO可得：

2

5

=

x-12

x

，解得x=20；
屬于截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長20；
（2）大圓錐的底面周長為2×5π=10π，小圓錐的底面周長為2×2π=4π，
這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積=大圓錐側(cè)面積-小圓錐的側(cè)面積=

1

2

×10π×20-

1

2

×4π×(20-12)=84π；
∴所求圓臺(tái)的體積為

1

3

×（4π+

4π×25π

+25π）×3

15

=39

15

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓臺(tái)的高、母線長、側(cè)面積以及體積的求法；關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)為平面幾何的知識(shí)解答，屬于基礎(chǔ)題．