已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在
軸上,其左、右焦點分別為
、
,短軸長為
,點
在橢圓
上,且滿足
的周長為6.
(Ⅰ)求橢圓的方程;;
(Ⅱ)設(shè)過點的直線與橢圓相交于A、B兩點,試問在x軸上是否存在一個定點M使
恒為定值?若存在求出該定值及點M的坐標,若不存在請說明理由.
(Ⅰ)
(Ⅱ)存在這樣的定點,使得
。
解析試題分析:(Ⅰ)
所以橢圓的方程為
4分
(Ⅱ)假設(shè)存在這樣的定點,設(shè)
,
直線方程為
則
=
聯(lián)立 消去
得
令 即
,
當軸時,令
,仍有
所以存在這樣的定點,使得
13分
考點:本題主要考查橢圓的標準方程,橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,平面向量的坐標運算。
點評:中檔題,求橢圓的標準方程,主要運用了橢圓的幾何性質(zhì),a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。對于存在性問題,往往假定存在,條件存在的條件是否具備,而明確存在與否。本題應(yīng)用韋達定理,結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算,簡化了解題過程。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
平面內(nèi)動點到點
的距離等于它到直線
的距離,記點
的軌跡為曲
.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)若點,
,
是
上的不同三點,且滿足
.證明:
不可能為直角三角形.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
過直線y=﹣1上的動點A(a,﹣1)作拋物線y=x2的兩切線AP,AQ,P,Q為切點.
(1)若切線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,求證:k1•k2為定值.
(2)求證:直線PQ過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,己知直線l與拋物線相切于點P(2,1),且與x軸交于點A,定點B(2,0).
(1)若動點M滿足,求點M軌跡C的方程:
(2)若過點B的直線(斜率不為零)與(1)中的軌跡C交于不同的兩點E,F(xiàn)(E在B、F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,設(shè)橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,線段OF1,OF2的中點分別為B1,B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.
(1)求該橢圓的離心率和標準方程;
(2)過B1作直線l交橢圓于P,Q兩點,使PB2⊥QB2,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:(
)經(jīng)過
與
兩點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點,橢圓C上一點M滿足.求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知點是離心率為
的橢圓
:
上的一點,斜率為
的直線
交橢圓
于
、
兩點,且
、
、
三點不重合.
(1)求橢圓的方程;
(2)的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由?
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如圖,已知F1、F2分別為橢圓C1:的上、下焦點,其中F1也是拋物線C2:
的焦點,點A是曲線C1,C2在第二象限的交點,且
(Ⅰ)求橢圓1的方程;
(Ⅱ)已知P是橢圓C1上的動點,MN是圓C:的直徑,求
的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點在坐標原點,焦點為,點
是點
關(guān)于
軸的對稱點,過點
的直線交拋物線于
兩點。
(1)試問在軸上是否存在不同于點
的一點
,使得
與
軸所在的直線所成的銳角相等,若存在,求出定點
的坐標,若不存在說明理由。
(2)若的面積為
,求向量
的夾角;
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