Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知$\frac{cosA-2cosB}{cosC}=\frac{2b-a}{c}$．
（1）求$\frac{sinB}{sinA}$的值；
（2）若cosC=$\frac{1}{4}$，c=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知可得$\frac{cosA-2cosB}{cosC}=\frac{2sinB-sinA}{sinC}$，進而利用三角函數(shù)恒等變換的應用即可化簡得解$\frac{sinB}{sinA}$的值．
（2）由余弦定理可知$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{4}$，由（1）可知$\frac{sinB}{sinA}=2$，利用正弦定理可得$\frac{a}=2$，結合c=2即可求得b，a的值，利用三角形面積公式即可計算得解△ABC的面積S．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得$\frac{cosA-2cosB}{cosC}=\frac{2sinB-sinA}{sinC}$，
整理得sin（A+C）=2sin（B+C），
又∵A+B+C=π，
∴sinB=2sinA，即$\frac{sinB}{sinA}=2$，
（2）由余弦定理可知$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{4}$①，
由（1）可知$\frac{sinB}{sinA}=2$，即$\frac{a}=2$②，
再由c=2，③，由①②③聯(lián)立求得b=2，a=1，
又$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
可得：$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．