Question

15．曲線$\left\{{\begin{array}{l}{x=asecα}\\{y=btanα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)）與曲線$\left\{{\begin{array}{l}{x=atanβ}\\{y=bsecβ}\end{array}}\right.$（β為參數(shù)）的離心率分別為e₁和e₂，則e₁+e₂的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 化簡極坐標(biāo)方程為普通方程，求出雙曲線和它的共軛雙曲線的離心率分別為e₁和e₂，然后利用雙曲線的性質(zhì)探索e₁和e₂的關(guān)系．

解答 解：∵曲線$\left\{{\begin{array}{l}{x=asecα}\\{y=btanα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)）化為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，與曲線$\left\{{\begin{array}{l}{x=atanβ}\\{y=bsecβ}\end{array}}\right.$（β為參數(shù)）化為：$\frac{{y}^{2}}{^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}=1$，e₁=$\frac{c}{a}$，e₂=$\frac{c}$，$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$=1，∴e₁e₂≥2，∴e₁+e₂≥2$\sqrt{{e}_{1}{e}_{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查極坐標(biāo)與普通方程的互化，考查雙曲線的簡單性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力．