Question

如圖甲，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,點(diǎn)分別在上,并且滿足
,如圖乙,將直角梯形沿折到的位置,使點(diǎn)在
平面上的射影恰好在上．

（1）證明：平面；
（2）求平面與平面所成二面角的余弦值．

Answer 1

（1）先證（2）

試題分析：⑴證明：在圖甲中，易知,從而在圖乙中有，           
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012758685244.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以平面
⑵解法1、
如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，
由于平面，則，                      
所以平面，則，                      
所以平面與平面所成二面角的平面角，     
圖甲中有，又，則三點(diǎn)共線，     
設(shè)的中點(diǎn)為，則，易證，所以，，；
又由，得，            
于是，，                                
在中，，即所求二面角的余弦值為．


解法2、
如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，由于平面，則，                                                
所以平面，則，圖甲中有，又，則三點(diǎn)共線，                                                     
設(shè)的中點(diǎn)為，則，易證，所以，則；
又由，得，               
于是，，
在中，       
作交于點(diǎn)，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖丙所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，則 
顯然，是平面的一個(gè)法向量，           
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，不防取，則，                                       
設(shè)平面與平面所成二面角為，可以看出，為銳角，所以，，所以，
平面與平面, 所成二面角的余弦值為．                                                      
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查線面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于
中檔題．