Question

在平面直角坐標系xOy中，l是過定點P（4，2）且傾斜角為α的直線，在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系（取相同單位長度）中，曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ．
（Ⅰ）寫出求直線l的參數方程，并將曲線C的方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）若曲線C與直線l相交于不同的兩點M、N，求|PM|+|PN|的取值范圍．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：對第（Ⅰ）問，根據“

x=x0+tcosα y=y0+tsinα

”直接寫出l的參數方程，利用極坐標與直角坐標的轉換關系式

ρ2=x2+y2 x=ρcosθ

，可將曲線C的方程化為直角坐標方程；
對第（Ⅱ）問，聯(lián)立l的參數方程與曲線C的普通方程，消去x與y，得到關于t的一元二次方程，寫出|PM|+|PN|關于t及α的表達式，利用韋達定理及α的范圍，可探求|PM|+|PN|的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵直線l過定點P（4，2），且傾斜角為α，
∴l(xiāng)的參數方程為

x=4+tcosα y=2+tsinα

（t為參數）．
由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，
將

ρ2=x2+y2 x=ρcosθ

代入上式中，整理得曲線C的普通方程為x²+y²-4x=0．
（Ⅱ）將l的參數方程

x=4+tcosα y=2+tsinα

代入x²+y²=4x中，
得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，
由題意有△=16（sinα+cosα）²-16＞0，
得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，從而0＜α＜

π

2

．
設點M，N對應的參數分別為t₁，t₂，
由韋達定理，得t₁+t₂=-4（sinα+cosα）＜0，t₁•t₂=4＞0，
∴t₁＜0，且t₂＜0，
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=-t₁-t₂=4（sinα+cosα）=4

2

sin(α+

π

4

)．
由0＜α＜

π

2

，得

π

4

＜α＜

3π

4

，
∴

2

2

＜sin(α+

π

4

)≤1，
故|PM|+|PN|的取值范圍是(4 ，4

2

]．

點評：1．極坐標方程化直角坐標方程，一般通過兩邊同時平方，兩邊同時乘以ρ等方式，構造或湊配ρ²，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式轉化．常見互化公式有ρ²═x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，tanθ=

y

x

等．
2．運用參數方程解題時，應熟練參數方程中各量的含義，即過定點M₀（x₀，y₀）M0，且傾斜角為α的直線的參數方程為“

x=x0+tcosα y=y0+tsinα

”，參數t表示以M₀為起點，直線上任意一點M為終點的向量

M0M

的數量，即當

M0M

沿直線向上時，t=|

M0M

|；當

M0M

沿直線向下時，t=-|

M0M

|．
3．對于曲線C與直線l的相交問題，一般是聯(lián)立曲線與直線的方程，消去相應的變量，再利用韋達定理求解．