Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E在棱SD上．
（Ⅰ）當SD⊥平面AEC時，求

SE

DE

的值；
（Ⅱ）當二面角E-AC-D的余弦值為

2 5

5

時，求直線CD與平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質

專題：空間角

分析：（Ⅰ）當SD⊥平面AEC時，判斷SD與AE的關系，通過解三角形即可求

SE

DE

的值；
（Ⅱ）確定，∴∠EAD就是二面角E-AC-D的平面角，利用（Ⅰ）的數據關系，推出當二面角E-AC-D的余弦值為

2 5

5

時，直線CD與平面ACE所成角的具體位置，然后求直線CD與平面ACE所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）當SD⊥平面AEC時，可得SD⊥AE，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，AD=1，
∴SA⊥AD，∴SD=

5

，AE=

2

5

，

SE

DE

=

SA2-AE2

AD2-AE2

=

4- 4 5

1- 4 5

=4．
（Ⅱ）底面ABCD為平行四邊形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，AD=1，∠ABC=60°，
∴AC⊥AD，SA⊥AC，AS∩AD=A，∴AC⊥平面SAD，
∴∠EAD就是二面角E-AC-D的平面角，
由（Ⅰ）可知：SD⊥平面AEC時，AE=

2

5

，此時二面角E-AC-D的余弦值為

2 5

5

，直線CD與平面ACE所成的角就是∠ECD，
它的正弦值為：

ED

CD

=

AD2-AE2

CD

=

1- 4 5

2

=

5

10

．

點評：本題考查張筱雨平面所成角的求法，二面角的應用，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查轉化思想以及計算能力．