(2013•黃岡模擬)數(shù)列{an}是公比為
1
2
的等比數(shù)列,且1-a2是a1與1+a3的等比中項,前n項和為Sn;數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=8,其前n項和Tn滿足Tn=nλ•bn+1(λ為常數(shù),且λ≠1).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式及λ的值;
(Ⅱ)比較
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
1
2
Sn的大。
分析:(I)根據1-a2是a1與1+a3的等比中項,建立關于a1的方程,解出a1=
1
2
,從而得出數(shù)列{an}的通項公式.再由Tn=nλ•bn+1分別取n=1、2,建立關于{bn}的公差d與λ的方程組,解之即可得到實數(shù)λ的值;
(II)由(I)的結論,利用等比數(shù)列的求和公式算出Sn的表達式,從而得到
1
2
Sn=
1
2
-
1
2n+1
1
4
.由等差數(shù)列的通項與求和公式算出{bn}的前n項和Tn=4n2+4n,利用裂項求和的方法算出
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
=
1
4
(1-
1
n+1
1
4
,再將兩式加以比較,即可得到所求的大小關系.
解答:解:(Ⅰ)由題意,可得(1-a22=a1(1+a3),
即(1-
1
2
a12=a1(1+
1
4
a1),解之得a1=
1
2
,
∴數(shù)列{an}的通項公式為an=
1
2
•(
1
2
n-1=
1
2n
,
又∵Tn=nλ•bn+1,∴分別取n=1、2,可得
T1b2
T2=2λb3
,
∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=8,
∴設{bn}的公差為d,可得
8=λ(8+d)
16+d=2λ(8+2d)
,解之得
λ=
1
2
d=8
λ=1
d=0

∵λ為常數(shù),且λ≠1,∴λ=
1
2
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:Sn=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
=1-
1
2n

1
2
Sn=
1
2
-
1
2n+1
1
4
-------------①.
又∵等差數(shù)列{bn}的首項b1=8,公差d=8,
∴{bn}的前n項和Tn=nb1+
n(n-1)
2
×8
=4n2+4n,
可得
1
Tn
=
1
4n2+4n
=
1
4
1
n
-
1
n+1

1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
=
1
4
[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]=
1
4
(1-
1
n+1
1
4
------②
根據①②可知:
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
1
2
Sn
點評:本題給出等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足的條件,求它們的通項公式與前n項和公式,并依此比較兩個不等式的大。乜疾榱说炔畹缺葦(shù)列的通項與求和、數(shù)列求和的一般方法與不等式比較大小等知識,屬于中檔題.
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a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+…+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn
則其中:(I)L3=
a1+a2+a3
a1+a2+a3
;(Ⅱ)Ln=
a1+a2+a3+…+an
a1+a2+a3+…+an

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