Question

18．梯形ABCD中AB∥CD，對角線AC，BD交于P₁，過P₁作AB的平行線交BC于點Q₁，AQ₁交BD于P₂，過P₂作AB的平行線交BC于點Q₂，…．，若AB=a，CD=b，則P_nQ_n=$\frac{ab}{a+nb}，n∈N*$（用a，b，n表示）

Answer 1

分析 運用三角形相似可得P₁Q₁=$\frac{ab}{a+b}$；P₂Q₂=$\frac{ab}{a+2b}$；歸納可得P_nQ_n=$\frac{ab}{a+nb}$．運用取倒數(shù)，結合調查核實了的通項公式即可得到結論．

解答 解：梯形ABCD中，易得△CDP₁∽△ABP₁，
可得$\frac{CD}{AB}$=$\frac{C{P}_{1}}{A{P}_{1}}$=$\frac{a}$，
在△CAB中，P₁Q₁∥AB，
可得$\frac{{P}_{1}{Q}_{1}}{AB}$=$\frac{C{P}_{1}}{CA}$=$\frac{b+a}$，
即有P₁Q₁=$\frac{ab}{a+b}$；
同理可得$\frac{{P}_{2}{Q}_{2}}{AB}$=$\frac{{Q}_{1}{P}_{2}}{{Q}_{1}A}$=$\frac{\frac{ab}{a+b}}{\frac{ab}{a+b}+a}$=$\frac{a+2b}$，
即有P₂Q₂=$\frac{ab}{a+2b}$；
同理可得$\frac{{P}_{3}{Q}_{3}}{AB}$=$\frac{\frac{ab}{a+2b}}{\frac{ab}{a+2b}+a}$=$\frac{a+3b}$，
即有P₃Q₃=$\frac{ab}{a+3b}$；
…，
歸納可得P_nQ_n=$\frac{ab}{a+nb}$．
理由：由P_nQ_n=$\frac{a{P}_{n-1}{Q}_{n-1}}{{P}_{n-1}{Q}_{n-1}+a}$，
取倒數(shù)可得，$\frac{1}{{P}_{n}{Q}_{n}}$=$\frac{1}{{P}_{n-1}{Q}_{n-1}}$+$\frac{1}{a}$，
即有$\frac{1}{{P}_{n}{Q}_{n}}$=$\frac{1}{{P}_{1}{Q}_{1}}$+（n-1）•$\frac{1}{a}$=$\frac{a+b}{ab}$+（n-1）•$\frac{1}{a}$=$\frac{a+nb}{ab}$，
則P_nQ_n=$\frac{ab}{a+nb}$．
故答案為：$\frac{ab}{a+nb}，n∈N*$．

點評 本題考查歸納推理的運用，注意應用三角形相似，考查數(shù)列的通項公式的求法，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．