【題目】中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中點O為球心,AC為直徑的球面交PD于M(異于點D),交PC于N(異于點C).
(1)證明:平面,并判斷四面體MCDA是否是鱉臑,若是,寫出它每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析,是,,,,;(2)
【解析】
(1)根據(jù)是球的直徑,則,又平面, 得到,再由線面垂直的判定定理得到平面,,進(jìn)而得到,再利用線面垂直的判定定理得到平面.
(2)以A為原點,,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè),由,解得,得到,從而得到,然后求得平面的一個法向量,代入公式求解.
(1)因為是球的直徑,則,
又平面,
∴,.∴平面,
∴,∴平面.
根據(jù)證明可知,四面體是鱉臑.
它的每個面的直角分別是,,,.
(2)如圖,
以A為原點,,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,
則,,,,.
M為中點,從而.
所以,設(shè),
則.
由,
得.
由得,即.
所以.
設(shè)平面的一個法向量為.
由.
取,,,得到.
記與平面所成角為θ,
則.
所以直線與平面所成的角的正弦值為.
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【題目】已知,點是圓上一動點,動點滿足,點在直線上,且.
(1)求點的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點在直線上,過點作曲線的兩條切線,切點分別為,記點到直線的距離分別為,求的最大值,并求出此時點的坐標(biāo).
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的方程為,定點,點是曲線上的動點, 為的中點.
(1)求點的軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知直線與軸的交點為,與曲線的交點為,若的中點為,求的長.
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【題目】 下列結(jié)論錯誤的是
A. 命題:“若,則”的逆否命題是“若,則”
B. “”是“”的充分不必要條件
C. 命題:“, ”的否定是“, ”
D. 若“”為假命題,則均為假命題
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【題目】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查.
(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.
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【題目】已知長度為的線段的兩個端點分別在軸和軸上運動,動點滿足,設(shè)動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點,且斜率不為零的直線與曲線交于兩點,在軸上是否存在定點,使得直線與的斜率之積為常數(shù)?若存在,求出定點的坐標(biāo)以及此常數(shù);若不存在,請說明理由.
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【題目】某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目,下列說法錯誤的是( )
A.若任意選擇三門課程,選法總數(shù)為
B.若物理和化學(xué)至少選一門,選法總數(shù)為
C.若物理和歷史不能同時選,選法總數(shù)為
D.若物理和化學(xué)至少選一門,且物理和歷史不能同時選,選法總數(shù)為
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【題目】已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的右頂點為A,O為坐標(biāo)原點,M為OA的中點,若以AM為直徑的圓與E的漸近線相切,則雙曲線E的離心率等于( )
A.B.
C.D.
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