Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}為正項等比數(shù)列，且滿足a₁+$\frac{1}{2}$a₂=4，a₃²=$\frac{1}{4}$a₂a₆；設(shè)正項數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=$\frac{（{_{n}+1）}^{2}}{4}$．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₁+$\frac{1}{2}$a₂=4，a₃²=$\frac{1}{4}$a₂a₆，可得a₁（1+$\frac{1}{2}$q）=4，${a}_{3}^{2}=\frac{1}{4}$${a}_{4}^{2}$，即q²=4．解得q，a₁，即可得出a_n．正項數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=$\frac{（{_{n}+1）}^{2}}{4}$．b₁=$\frac{（_{1}+1）^{2}}{4}$，解得b₁．n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁+$\frac{1}{2}$a₂=4，a₃²=$\frac{1}{4}$a₂a₆，
∴a₁（1+$\frac{1}{2}$q）=4，${a}_{3}^{2}=\frac{1}{4}$${a}_{4}^{2}$，即q²=4．
解得q=2，a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
正項數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=$\frac{（{_{n}+1）}^{2}}{4}$．
∴b₁=$\frac{（_{1}+1）^{2}}{4}$，解得b₁=1．
n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{（_{n}+1）^{2}}{4}$-$\frac{（_{n-1}+1）^{2}}{4}$，化為：（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1-2）=0，
∴b_n-b_n-1=2，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，公差為2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴數(shù)列{c_n}的前n項的和T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
∴2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=-2+$\frac{4×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．