Question

【題目】已知，（且），函數.

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）若函數的圖像在點處的切線的斜率為1，問：在什么范圍取值時，對于任意的，函數在區(qū)間上總存在極值？

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析 （2）

【解析】

（1）利用平面向量數量積的坐標表示公式求出函數的解析式，再對函數求導，根據導函數的正負性分類討論求出函數的單調區(qū)間；

（2）根據函數的圖像在點處的切線的斜率為1，利用導數可以求出的值，對進行求導，由函數在區(qū)間上總存在極值，

問題可以轉化為有兩個不等實根且至少有一個在區(qū)間內，根據二次方程根的分布進行求解即可.

解：（1）由題意知定義域為，則

∴當時，函數的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是；

當時，函數的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是.

（2）由得,，

∵函數在區(qū)間上總存在極值，

有兩個不等實根且至少有一個在區(qū)間內

又∵函數是開口向上的二次函數，且，

由得，在上單調遞減，

所以；，由，解得；

綜上得：所以當在內取值時，對于任意，函數，在區(qū)間上總存在極值.