Question

四棱錐P-ABCD底面是平行四邊形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=

1

2

AD，∠BAD=60°，E為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：AE⊥面PBD．
（2）設(shè)點(diǎn)M為線段PD上一點(diǎn)，且直線CM與平面PAD所成角的正弦值為

6

5

，求

PM

PD

的值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理證明線面垂直．
（2）利用直線CM與平面PAD所成角的正弦值為

6

5

，確定M的位置，然后求

PM

PD

的值．

解答：解：（1）因?yàn)锳B=

1

2

AD，∠BAD=60°，所以AB⊥BD，
因?yàn)槊鍼AB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，AB⊥BD，
所以BD⊥面PAB，所以BD⊥AE，
又PA=PB，E為PB的中點(diǎn)，
所以AE⊥PB，因?yàn)锽D∩PB=B，
所以AE⊥面PBD．
（2）取AB的中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，OP為z軸，以平行BD的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2，則A（1，0，0），B（-1，0，0），P（0，0，

3

），D（-1，2

3

，0），C（-3，2

3

，0），則

AP

=(-1，0

3

)，

AD

=(-2，2

3

，0)，

PD

=(-1，2

3

，-

3

)．，

PC

=(-3，2

3

，-

3

)，所以
設(shè)平面PAD的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n ? AP =0 n ? AD =0

，即

-x+ 3 z=0 -2x+2 3 y=0

，令z=1，則x=

3

，y=1，
即

n

=(

3

，1，1)．
因?yàn)辄c(diǎn)M為線段PD上一點(diǎn)，設(shè)

PM

PD

=m，（0≤m≤1），則

PM

=m

PD

=(-m，2

3

m，-

3

m)，

MC

=

MP

+

PC

=(m-3，2

3

-2

3

m，

3

m-

3

)，
因?yàn)橹本�CM與平面PAD所成角的正弦值為

6

5

，所以|cos＜

n

，

MC

＞|=

6

5

．
即

| n ? MC |

| n || MC |

=

6

5

，整理得8m²-18m+7=0，解得m=

1

2

或m=

7

4

（舍去）．
故

PM

PD

的值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直的判斷，以及線面所成角的應(yīng)用．建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量是解決本題的關(guān)鍵，本題運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．