分析:(1)①根據(jù)f(3)<0,a>1構(gòu)造不等式組,解不等式組,可得a的取值范圍;
②由①中結(jié)論,可得a取(1,1.445)中的任意值都可以,進(jìn)而給出合適的x
0,即可得到答案.
(2)設(shè)曲線
y=x+上兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)為(m,n),(n,m),可得p=-2m
2,進(jìn)而得到實(shí)數(shù)p的取值范圍;
(3)提出的問(wèn)題是:當(dāng)a∈(0,e
-e)時(shí),函數(shù)y=a
x與y=log
ax的圖象有3個(gè)交點(diǎn);當(dāng)a∈[e
-e,1)時(shí),函數(shù)y=a
x與y=log
ax的圖象有1個(gè)交點(diǎn),進(jìn)而根據(jù)(1)(2)的結(jié)論可進(jìn)行推導(dǎo)論證.
解答:解:(1)①
⇒⇒1<a<…(4分)
②當(dāng)a=1.1,x
0=2時(shí),f(x
0)<0成立
注:a。1,1.445)中的任意值都可以,相應(yīng)的x
0均給分…(6分)
(2)設(shè)曲線
y=x+上兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)為(m,n),(n,m),
于是
…(9分)
m++=m(p≠0)⇒p=-2m2…(11分)
所以p<0;…(12分)
(3)提出的問(wèn)題是:當(dāng)a∈(0,e
-e)時(shí),函數(shù)y=a
x與y=log
ax的圖象有3個(gè)交點(diǎn);當(dāng)a∈[e
-e,1)時(shí),函數(shù)y=a
x與y=log
ax的圖象有1個(gè)交點(diǎn).…(14分)
問(wèn)題解決如下:顯然,當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=a
x與y=log
ax的圖象在直線y=x上有一個(gè)交點(diǎn).…(15分)
若曲線y=a
x上有兩個(gè)點(diǎn)(m,n),(n,m)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則
⇒
a=n=m⇒
lna=lnn=lnm⇒mnlna=nlnn=mlnm,
即m,n是函數(shù)y=xlnx(0<x<1)與直線y=c(c為常數(shù))的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=xlnx有如下性質(zhì):在區(qū)間
(0,]上單調(diào)遞減,在區(qū)間
[,1)上單調(diào)遞增.
于是
x=時(shí)f(x)=xlnx取得最小值
-,即
-≤xlnx<0,由其圖象可得到,當(dāng)
c∈(-,0)時(shí),m,n成對(duì)出現(xiàn),且
lnn=lnm∈(-∞,-e).…(18分)
當(dāng)lna<-e,即a∈(0,e
-e)時(shí),點(diǎn)(m,n),(n,m)存在,即函數(shù)y=a
x與y=log
ax的圖象有3個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)lna≥-e,即a∈[e
-e,1)時(shí),點(diǎn)(m,n),(n,m)不存在,函數(shù)y=a
x與y=log
ax的圖象只有1個(gè)交點(diǎn).…(20分)