Question

給出下列四個命題，其錯誤的是
①已知q是等比數(shù)列{a_n}的公比，則“數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列”是“q＞1”的既不充分也不必要條件．
②若定義在R上的函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，則對定義域內(nèi)的任意x必有f（2x+1）+f（-2x-1）=0．
③若存在正常數(shù)p滿足f(px)=f(px+

p

2

)，則f（x）的一個正周期為

p

2

．
④函數(shù)y=f（x+1）與y=f（1-x）圖象關(guān)于x=1對稱．（　　）

• A、②④
• B、④
• C、③
• D、③④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：必須對選項加以一一判斷：對①運(yùn)用充分必要條件定義推斷；對②運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義考慮；對③運(yùn)用函數(shù)的周期概念解決；對④由圖象的對稱性可得．

解答： 解：對①因為q是等比數(shù)列{a_n}的公比，若q＞1，則推不出“數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列”，因為a₁可以＜0，若“數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列”，也推不出q＞1，可以0＜q＜1，a₁＜0，所以①對；
  對②，因為定義在R上的函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，所以對定義域內(nèi)的任意x，f（-x）+f（x）=0都成立，
即f（-2x-1）+f（2x+1）=0，所以②對；
 對③，因為存在正常數(shù)p滿足f(px)=f(px+

p

2

)，則令px=t，則f（t）=f（t+

p

2

），故f（x）的一個正周期為

p

2

，所以③對；
 對④，可令1+x=t，則x=t-1，函數(shù)y=f（x+1）與y=f（1-x）即為函數(shù)y=f（t）與y=f（2-t），則它們關(guān)于直線t=1對稱，即x=0對稱，所以④錯．
 故選：B

點評：本題主要考查充分必要條件的判斷和函數(shù)的奇偶性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱問題，注意定義的運(yùn)用和換元思想的運(yùn)用，本題是一道中檔題．