【題目】如圖，過橢圓： 的左右焦點分別作直線， 交橢圓于與，且.

（1）求證：當直線的斜率與直線的斜率都存在時， 為定值；

（2）求四邊形面積的最大值.

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析: (1)設(shè) ,分別將坐標代入橢圓中,得出兩等式,相減得出 ,寫出的表達式,化簡得出結(jié)果; (2)設(shè)直線 的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求出 ,算出的表達式,而 ,代入,用基本不等式求出最大值,再得出四邊形面積的最大值.

試題解析: （1）設(shè), ,根據(jù)對稱性，有，因為, 都在橢圓上，所以， ，二式相減得， ，所以為定值.

（2）當的傾斜角為時， 與重合，舍去.

當的傾斜角不為0時，由對稱性得四邊形為平行四邊形， ，設(shè)直線的方程為，代入，得.顯然， ， .

所以

設(shè)，所以， .所以.

當且僅當即時等號成立，所以.

所以平行四邊形面積的最大值為.

點睛: 本題主要考查直線與橢圓相交時的有關(guān)知識,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,屬于中檔題.解題技巧: 在(1)中,采用設(shè)而不求;在(2)中, 設(shè)直線 的方程比 好,因為聯(lián)立直線與橢圓方程計算量減少,還有,由韋達定理可求出.在求三角形面積最大值時,將 看成一個整體,利用基本不等式求出最大值.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(Ⅰ)在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù)， )，以原點為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.

(1)寫出的極坐標方程；

(2)若為曲線上的兩點，且，求的范圍.

(Ⅱ)已知函數(shù)， .

(1) 時，解不等式；

(2)若對任意，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】選修4－4：坐標系與參數(shù)方程

已知在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù))，以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是．

(Ⅰ) 求曲線與交點的平面直角坐標；

(Ⅱ) 點分別在曲線， 上，當最大時，求的面積(為坐標原點)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，且f（1）=2，f（2）=3． （I）若f（x）是偶函數(shù)，求出f（x）的解析式；
（II）若f（x）是奇函數(shù)，求出f（x）的解析式；
（III）在（II）的條件下，證明f（x）在區(qū)間 上單調(diào)遞減．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的零點；
（3）若函數(shù)f（x）的最小值為﹣4，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在多面體中，底面是邊長為2的菱形， ，四邊形是矩形，平面平面.

（1）在圖中畫出過點的平面，使得平面（必須說明畫法，不需證明）；

（2）若二面角是，求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正四棱柱的底面邊長為，高為，現(xiàn)從該正四棱柱的個頂點中任取個點.設(shè)隨機變量的值為以取出的個點為頂點的三角形的面積.

（1）求概率；

（2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)y=f（x）的定義域為[﹣1，5]，則函數(shù)y=f（3x﹣5）的定義域為（ ）
A.
B.[ ， ]
C.[﹣8，10]
D.（CRA）∩B

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在直角梯形ABCD中AD∥BC,∠ADC＝90°,平面ABCD外一點P在平面ABCD內(nèi)的射影Q恰在邊AD上, PA＝AD＝2 BC＝2,CD＝.

(1)若平面PQB⊥平面PAD,求證：Q為線段AD中點；

(2)在(1)的條件下,若M在線段PC上,且PA∥平面BMQ,求點M到平面PAB的距離.

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