Question

如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點，又二面角P—CD—B為45°.

（1）求證：AF∥平面PEC；

（2）求證：平面PEC⊥平面PCD；

（3）設AD=2，CD=2,求點A到平面PEC的距離.

Answer 1

（1）（2）證明略，（3）1

解析:

(1)  取PC的中點G，

連接EG、FG，

∵F為PD的中點，

∴GFCD.

∵CDAB，又E為AB的中點，

∴AE GF.

∴四邊形AEGF為平行四邊形.

∴AF∥GE，且AF平面PEC，因此AF∥平面PEC.

(2)  PA⊥平面ABCD，

則AD是PD在底面上的射影.又ABCD為矩形，

∴CD⊥AD，則CD⊥PD.因此CD⊥AF，

∠PDA為二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°.

F為Rt△PAD斜邊PD的中點，

AF⊥PD，PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD.

由（1）知AF∥EG.∴EG⊥平面PCD.

∵EG平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.

（3）  由（1）（2）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，過F作FH⊥PC交PC于H，則FH⊥平面PEC.

∴FH的長度為F到平面PEC的距離，

即A到平面PEC的距離.

在△PFH與△PCD中，∠P為公共角，

∠FHP=∠CDP=90°，

∴△PFH∽△PCD，∴=.

∵AD=2，PF=，PC===4，

∴FH=×2=1.

∴A到平面PEC的距離為1.