定義y=log(1+x)F(x,y),x、y∈(0,+∞),
(Ⅰ)令函數(shù)f(x)=F(x,2)-3x,過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線C:y=f(x)的切線l,切點(diǎn)為P(n,t)(n>0),設(shè)曲線C與l及y軸圍成圖形的面積為S,求S的值.
(Ⅱ)令函數(shù)g(x)=F(x,2)+alnx,討論函數(shù)g(x)是否有極值,如果有,說明是極大值還是極小值.
(Ⅲ)證明:當(dāng)x,y∈N*且x<y時(shí),F(xiàn)(x,y)>F(y,x).
【答案】
分析:(I)先確定切線方程,再利用定積分知識求面積;
(II)求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可求函數(shù)的極值;
(III)令
,證明h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,1≤x<y時(shí),
,從而可得結(jié)論.
解答:(I)解:∵y=log
(1+x)F(x,y),x、y∈(0,+∞),
∴f(x)=x
2-x+1,x∈(0,+∞),∴A(0,1),f′(x)=2x-1
∵過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線C:y=f(x)的切線l,切點(diǎn)為P(n,t)(n>0),
∴
∴P(1,1),∴切線l的方程為y=x,
∴
;
(II)解:∵g(x)=(1+x)
2+alnx,x∈(0,+∞)
∴
①△=4-8a≤0,即
時(shí),g′(x)≥0,
∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,從而沒有極值;
②當(dāng)△=4-8a>0即
時(shí),方程2x
2+2x+a=0有二個(gè)不等實(shí)根
,
,
若
,則x
1<0,x
2≤0,g'(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,從而沒有極值;
若a<0,則x
1<0,x
2>0,函數(shù)在(0,x
2)上,g'(x)<0,單調(diào)遞減,在(x
2,+)上,g'(x)>0,單調(diào)遞增
∴x=x
2,g(x)有極小值,沒有極大值;
(III)證明:令
,則
令p(x)=
,則
∴p(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減
∴x>0時(shí),p(x)<p(0)=0
∴x≥1時(shí),h′(x)<0
∴h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減
∴1≤x<y時(shí),
∴yln(1+x)>xln(1+y)
∴(1+x)
y>(1+y)
x∴F(x,y)>F(y,x).
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.