Question

15．如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的模分別為1，1，$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為α，且tanα=7，$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為45°．若$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），則m+n=3．

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．A（1，0）．由$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為α，且tanα=7．可得cosα=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$，sinα=$\frac{7}{5\sqrt{2}}$．C$（\frac{1}{5}，\frac{7}{5}）$．可得cos（α+45^°）=$-\frac{3}{5}$．sin（α+45^°）=$\frac{4}{5}$．B$（-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$．利用$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），即可得出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．A（1，0）．
由$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為α，且tanα=7．
∴cosα=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$，sinα=$\frac{7}{5\sqrt{2}}$．
∴C$（\frac{1}{5}，\frac{7}{5}）$．
cos（α+45^°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα）=$-\frac{3}{5}$．
sin（α+45^°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{4}{5}$．
∴B$（-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$．
∵$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），
∴$\frac{1}{5}$=m-$\frac{3}{5}$n，$\frac{7}{5}$=0+$\frac{4}{5}$n，
解得n=$\frac{7}{4}$，m=$\frac{5}{4}$．
則m+n=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．