Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax²-2x-2lnx．
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點，求實數(shù)a的值；
（2）若F（x）=f（$\sqrt{x}$）+2lnx存在兩個極值點x₁，x₂（x₁≠x₂），證明：|F（x₁）+F（x₂）|≥$\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)$f′（x）=2ax-2-\frac{2}{x}$，根據(jù)極值點的定義便有f′（x）=0，從而可求出a=2；
（2）先求出$F（x）=ax+lnx-2\sqrt{x}$，求導(dǎo)數(shù)$F′（x）=\frac{ax-\sqrt{x}+1}{x}$，依題意可得到$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}=\sqrt{{x}_{1}}•\sqrt{{x}_{2}}=\frac{1}{a}$，并得出$0＜a＜\frac{1}{4}$，這樣即可得出$F（{x}_{1}）+F（{x}_{2}）=-2lna-\frac{1}{a}-2$，可設(shè)g（a）=$-2lna-\frac{1}{a}-2$，通過求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)符號即可得出g（a）在$（0，\frac{1}{4}）$上單調(diào)遞增，從而得出g（a）＜0．這樣便可得出不等式$|F（{x}_{1}）+F（{x}_{2}）|≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$等價于$2alna+1+2a≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$，并設(shè)h（a）=2alna+1+2a，通過導(dǎo)數(shù)便可求出g（a）在$（0，\frac{1}{4}）$上的最小值，從而證出$2alna+1+2a≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$成立，從而得出要證明的結(jié)論成立．

解答 解：（1）$f′（x）=2ax-2-\frac{2}{x}$；
x=1是f（x）的極值點；
∴f′（1）=2a-2-2=0；
∴a=2；
（2）證明：$F（x）=f（\sqrt{x}）+2lnx$=$ax+lnx-2\sqrt{x}$；
∴$F′（x）=a+\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{ax-\sqrt{x}+1}{x}$，根據(jù)題意，x₁，x₂是方程F′（x）=0的兩個不同實數(shù)根；
∴$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}=\sqrt{{x}_{1}}•\sqrt{{x}_{2}}=\frac{1}{a}$，且$0＜a＜\frac{1}{4}$；
∴F（x₁）+F（x₂）=a（x₁+x₂）+ln（x₁x₂）$-2（\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}）$
=$a[（\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}）^{2}-2\sqrt{{x}_{1}}•\sqrt{{x}_{2}}]+ln（{x}_{1}{x}_{2}）$$-2（\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}）$
=$-2lna-\frac{1}{a}-2$；
記g（a）=$-2lna-\frac{1}{a}-2$，$g′（a）=-\frac{2}{a}+\frac{1}{{a}^{2}}=\frac{1-2a}{{a}^{2}}$；
∵$0＜a＜\frac{1}{4}$；
∴g′（a）＞0；
∴g（a）在（0，$\frac{1}{4}$）上單調(diào)遞增，$g（a）＜g（\frac{1}{4}）=-2ln\frac{1}{4}-4-2＜0$；
∴欲證$|F（{x}_{1}）+F（{x}_{2}）|≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$等價于證$2lna+\frac{1}{a}+2≥\frac{{e}^{2}-2}{a{e}^{2}}$；
即證$2alna+1+2a≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$；
記h（a）=2alna+1+2a，h′（a）=2（2+lna）=0，可得$a=\frac{1}{{e}^{2}}$；
∴$0＜a＜\frac{1}{{e}^{2}}$時，h′（a）＜0，$\frac{1}{{e}^{2}}＜a＜\frac{1}{4}$時，h′（a）＞0；
∴$a=\frac{1}{{e}^{2}}$時，h（a）取最小值$\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$；
即$h（a）≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$；
即$2alna+1+2a≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}$成立；
∴$|F（{x}_{1}）+F（{x}_{2}）|≥\frac{{e}^{2}-2}{{e}^{2}}\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$成立．

點評 考查函數(shù)極值點和極值的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、最值的方法和過程，函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)為0，以及函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，韋達定理，一元二次方程根的個數(shù)和判別式的關(guān)系，不等式的性質(zhì)．