Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1-a_nsin²θ=sin2θ•cos²ⁿθ．
（Ⅰ）當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若數(shù)列{b_n}滿足b_n=sin

πan

2

，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：對任意n∈N^*，S_n＜3+

5π

8

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，an+1-

1

2

an=

1

2n

，2nan+1-2n-1•an=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由（1）可得：a_n=

n

2n-1

，可得bn=sin

nπ

2n

，b1=b2=1，b3=sin

3π

8

＜1，可得當(dāng)n=1，2，3時(shí)，不等式成立；當(dāng)n≥4時(shí)，由于bn=sin

nπ

2n

＜

nπ

2n

，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)函數(shù)公式即可得出．

解答： （1）解：當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，an+1-

1

2

an=

1

2n

，2nan+1-2n-1•an=1，
∴{2^n-1a_n}是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，2^n-1a_n=n，
從而an=

n

2n-1

．
（2）證明：bn=sin

nπ

2n

，b1=b2=1，b3=sin

3π

8

＜1，
∴當(dāng)n=1，2，3時(shí)，Sn＜3+

5π

8

成立；
當(dāng)n≥4時(shí)，∵bn=sin

nπ

2n

＜

nπ

2n

，Sn＜3+(

4

24

+

5

25

+

6

26

+…+

n

2n

)π，
令T=

4

24

+

5

25

+

6

26

+…+

n

2n

，

1

2

T=

4

25

+

5

26

+

6

27

+…+

n

2n+1

，
兩式相減得

1

2

T=

4

24

+

1

25

+

1

26

+…+

1

2n

-

n

2n+1

＜

1

4

+

1

24

=

5

16

，
T＜

5

8

，所以Sn＜3+

5π

8

．
綜上所述，對任意n∈N*，Sn＜3+

5π

8

．

點(diǎn)評：本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)函數(shù)公式、三角函數(shù)的性質(zhì)、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．