Question

19．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PA⊥面ABCD，PA=$\sqrt{3}$，E，F(xiàn)分別為BC，PA的中點．
（1）求證：BF∥面PDE
（2）求點C到面PDE的距離．

Answer 1

分析 （1）取PD中點G，連結(jié)GF，由已知得四邊形BEGF是平行四邊形，從而BF∥EG，由此能證明BF∥面PDE．
（2）以A為原點，AD為x軸，在平面ABCD中過A作AD的垂線為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點C到面PDE的距離．

解答 （1）證明：取PD中點G，連結(jié)GF，
∵E，F(xiàn)分別為BC，PA的中點，底面ABCD是邊長為2的菱形，
∴GF平行且等于BE，∴四邊形BEGF是平行四邊形，
∴BF∥EG，
∵BF?平面PDE，EG?平面PDE，
∴BF∥面PDE．
（2）解：以A為原點，AD為x軸，在平面ABCD中過A作AD的垂線為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，
則P（0，0，$\sqrt{3}$），D（2，0，0），E（2，$\sqrt{3}$，0），C（3，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{PD}$=（2，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PE}$=（2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（3，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面PDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{2x-\sqrt{3}z=0}\\{2x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，2$），
∴點C到面PDE的距離：d=$\frac{|3\sqrt{3}-2\sqrt{3}|}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要注意向量法的合理運用．