Question

數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*），其中λ為常數．
（1）是否存在實數λ，使得數列{a_n}為等差數列或等比數列？若存在，求出其通項公式；若不存在，說明理由；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4．分兩種情況討論①數列{a_n}為等差數列，得λ²-λ+1=0，由△=1²-4=-3＜0知方程無實根，故不存在實數λ，②若數列{a_n}為等比數列，得2（2λ²+2λ+4）=（2λ+2）²，解得λ=1，a_n+1=a_n+2ⁿ，解得a_n=2ⁿ，故存在實數λ=1，使得數列{a_n}為等比數列．
（2）①當λ=1時，轉化為等比數列求解．②當λ=2時，構造等差數列求解，，③當λ≠1且λ≠2時，構造等比數列是求解．
解答：解：（1）a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4．（1分）
①若數列{a_n}為等差數列，則a₁+a₃=2a₂，即2+（2λ²+2λ+4）=2（2λ+2），
得λ²-λ+1=0，由△=1²-4=-3＜0知方程無實根，
故不存在實數λ，使得數列{a_n}為等差數列．（3分）
②若數列{a_n}為等比數列，則a₁•a₃=a₂²，即2（2λ²+2λ+4）=（2λ+2）²，
解得λ=1，此時，a_n+1=a_n+2ⁿ，
由累加法得：a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=2+2¹+2²++2^n-1=2ⁿ（n≥2），
顯然，當n=1時也適合，故a_n=2ⁿ（n∈N^*）．
故存在實數λ=1，使得數列{a_n}為等比數列，其通項公式為a_n=2ⁿ（n∈N^*）．（6分）

（2）①當λ=1時，a_n=2ⁿ（n∈N^*），故．（7分）
②當λ=2時，，即數列是首項為1，
公差為的等差數列，故，即a_n=（n+1）•2^n-1，
下用錯位相減法求S_n．S_n=2+3•2+4•2²++（n+1）•2^n-1，2S_n=2•2+3•2²++n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，
上面兩式相減，得S_n=-2-2-2²--2^n-1+（n+1）•2ⁿ=n•2ⁿ．（10分）
③當λ≠1且λ≠2時，下用待定系數法求通項a_n．
令a_n+1+x•2ⁿ⁺¹=λ（a_n+x•2ⁿ），則a_n+1=λa_n+（λ-2）x•2ⁿ，
上式與a_n+1=λa_n+2ⁿ比較系數，得（λ-2）x=1，．
故數列是首項為，公比為λ的等比數列，從而，即．
因此，=．
綜上所述，．（14分）
點評：本題是一道數列綜合題，情景熟悉，貌似簡單，入手也不難，但綜合程度之高令人嘆為觀止．無論是分類討論的思想，還是反證推理、求數列通項和數列求和都考查得淋漓盡致，累加法和待定系數法求數列的通項、錯位相減法和分組求和法求數列的前n項和，幾乎數列的所有知識和方法都熔于一爐．