Question

5．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂（x+1），則使得f（2x）＜f（x-1）成立的x的取值范圍為{x|x＜-1}．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶性，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．

解答 解：定義在R上的奇函數(shù)f（x），則f（0）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂（x+1）為增函數(shù)，且此時(shí)f（x）＞0，
當(dāng)x＜0，則-x＞0，此時(shí)f（-x）=log₂（-x+1）=-f（x），
即當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-log₂（-x+1），此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，且f（x）＜0，
綜上f（x）在R為增函數(shù)，
則不等式f（2x）＜f（x-1）等價(jià)為2x＜x-1，即x＜-1，
故答案為：{x|x＜-1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．