精英家教網(wǎng)如圖所示,為了制作一個(gè)圓柱形燈籠,先要制作4個(gè)全等的矩形骨架,總計(jì)耗用9.6米鐵絲,骨架把圓柱底面8等份,再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面).
(1)當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時(shí),S取得最大值?并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米);
(2)在燈籠內(nèi),以矩形骨架的頂點(diǎn)為點(diǎn),安裝一些霓虹燈,當(dāng)燈籠的底面半徑為0.3米時(shí),求圖中兩根直線A1B3與A3B5所在異面直線所成角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示)
分析:(1)由題意可圓柱的高為h,可得s=2πrh+πr2用r表示出來(lái),然后利用配方法求出s的最大值;
(2)利用向量建立坐標(biāo)系來(lái)求解,以直線A3A7、A1A5及圓柱的軸為x、y、z軸,表示出直線A1B3與A3B5的坐標(biāo),從而求解.
解答:解:(1)設(shè)圓柱的高為h,由題意可知,4(4r+2h)=9.6,
即2r+h=1.2,
s=2πrh+πr2=πr(2.4-3r)=3π[-(r-0.4)2+0.16],其中0<r<0.6
∴當(dāng)半徑r=0.4m時(shí),Smax=0.48π≈1.51(m2
(2)當(dāng)r=0.3時(shí),由2r+h=1.2,解得圓柱的高h(yuǎn)=0.6(米),
如圖以直線A3A7、A1A5及圓柱的軸為x、y、z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,則有,
A1(0,-0.3,0)
B3(0.3,0,0.6)
A3(0.3,0,0)
B5(0,0.3,0.6),
A1B3
=(0.3,0.3,0.6),
A3B3
=(-0.3,0.3,0.6),
兩根直線A1B3與A3B5所在異面直線所成角α有,
cosα=
0.36
(
0.09+0.09+0.36
)
2
=
2
3

∴兩線A1B3與A3B5所在異面直線所成角的大小arccos
2
3
點(diǎn)評(píng):此題將函數(shù)與立體幾何結(jié)合起來(lái)出題,考查利用配方法求二次函數(shù)的最值問(wèn)題及異面直線的夾角問(wèn)題,是一道好題.
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某地區(qū)舉辦了一次數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽.有近萬(wàn)名學(xué)生參加,為了分析競(jìng)賽情況,在參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的成績(jī),并根據(jù)他們的成績(jī)制作了頻率分布直方圖(如圖所示).精英家教網(wǎng)
(1)試估計(jì)這40名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù);
(2)試估計(jì)這40名學(xué)生的成績(jī)?cè)冢?2,84]之間的人數(shù);
(3)從參加活動(dòng)的學(xué)生中任取5人,求這5人中恰有2人的成績(jī)?cè)冢?0,90]之間的概率.

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