Question

對(duì)于自然數(shù)n＞6時(shí)，證明：n²+2n＜2ⁿ成立．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專(zhuān)題：不等式

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：n=7時(shí)不等式成立，假設(shè)n=k時(shí)原不等式成立，證明n=k+1時(shí)不等式成立即可．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=7時(shí)，左邊=63，右邊=128，左邊＜右邊，所以n=7時(shí)，不等式n²+2n＜2ⁿ成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即k²+2k＜2^k；
∴n=k+1時(shí)，2^k+1=2•2^k＞2（k²+2k）=k²+2k+k²+2k＞k²+2k+3+2k=（k+1）²+2（k+1），即：
（k+1）²+2（k+1）＜2^k+1，即n=k+1時(shí)，不等式也成立；
∴由（1）（2）得，當(dāng)n＞6時(shí)，不等式n²+2n＜2ⁿ成立．

點(diǎn)評(píng)：考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，放縮法證明不等式，掌握數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟．