Question

3．設數列{a_n}和{b_n}的項數均為m，則將數列{a_n}和{b_n}的距離定義為$\sum_{i=1}^{n}$|a_i-b_i|．
（1）給出數列1，3，5，6和數列2，3，10，7的距離；
（2）設A為滿足遞推關系a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$的所有數列{a_n}的集合，{b_n}和{c_n}為A中的兩個元素，且項數均為m，若b₁=2，c₁=3，{b_n}和{c_n}的距離小于2016，求m的最大值；
（3）記S是所有7項數列{a_n|1≤n≤7，a_n=0或1}的集合，T⊆S，且T中任何兩個元素的距離大于或等于3，證明：T中的元素個數小于或等于16．

Answer 1

分析 （1）由數列距離的定義即可求得數列1，3，5，6和數列2，3，10，7的距離；
（2）由數列的遞推公式，即可求得a，a₃，a₄，a₅，求得A中數列的項周期性重復，且間隔4項重復一次，求得數列{b_n}和{c_n}規(guī)律，可知隨著項數m越大，數列{b_n}和{c_n}的距離越大，由$\sum_{i=1}^{4}$=b_i-c_i|=$\frac{7}{3}$，根據周期的定義，得$\sum_{i=1}^{3456}$|b_i-c_i|=$\sum_{i=1}^{4×864}$|b_i-c_i|=$\frac{7}{3}$×864=2016，求得m的最大值；
（3）利用反證法，假設T中的元素個數大于等于17個，設出{c_n}，{d_n}，{f_n}，最總求得$\sum_{i=1}^{7}$|f_i-c_i|≤2和$\sum_{i=1}^{7}$|f_i-d_i|≤2中必有一個成立，與數列的距離大于或等于3矛盾，故可證明T中的元素個數小于或等于16．

解答 解：（1）由題意可知，數列1，3，5，6和數列2，3，10，7的距離為1+0+5+1=7，
（2）設a₁=p，其中p≠0，且p≠±1，
由a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，得a₂=$\frac{1+p}{1-p}$，a₃=-$\frac{1}{p}$，a₄=$\frac{p-1}{p+1}$，a₅=p，
∴a₁=a₅，
因此A中數列的項周期性重復，且間隔4項重復一次，
所數列{b_n}中，b_4k-3=2，b_4k-2=-3，b_4k-1=-$\frac{1}{2}$，b_4k=$\frac{1}{3}$，k∈N^*，
所以{c_n}中，b_4k-3=3，b_4k-2=-2，b_4k-1=-$\frac{1}{3}$，b_4k=$\frac{1}{2}$，k∈N^*，
$\sum_{i=1}^{k+1}$|b_i-c_i|≥$\sum_{i+1}^{k}$|b_i-c_i|，得項數m越大，數列{b_n}和{c_n}的距離越大，
由$\sum_{i=1}^{4}$=b_i-c_i|=$\frac{7}{3}$，
得$\sum_{i=1}^{3456}$|b_i-c_i|=$\sum_{i=1}^{4×864}$|b_i-c_i|=$\frac{7}{3}$×864=2016，
所以m＜3456時，$\sum_{i=1}^{m}$|b_i-c_i|＜2016，
故m的最大值為3455，
（3）證明：假設T中的元素個數大于等于17個，
因為數列{a_n}中，a_i=0或1，
所以僅由數列前三項組成的數組（a₁，a₂，a₃）有且僅有8個，（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），
（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1），
那么這17個元素（即數列）之中必有三個具有相同的a₁，a₂，a₃，
設這個數列分別為{c_n}：c₁，c₂，c₃，c₄，c₅，c₆，c₇，{d_n}：d₁，d₂，d₃，d₄，d₅，d₆，d₇，{f_n}：f₁，f₂，f₃，f₄，f₅，f₆，f₇，
其中c₁=d₁=f₁，c₂=d₂=f₂，c₃=d₃=f₃，
因為這三個數列中每兩個的距離大于等于3，
所以，{b_n}和{c_n}中，c_i=d_i，（i=4，5，6，7）中至少有三個成立，
不妨設c₄≠d₄，c₅≠d₅，c₆≠d₆，
由題意，c₄和d₄中一個等于0，而另一個等于1，
又因為f₄=0或1，
所以f₄=c₄和f₄=d₄中必有一個成立，
同理，得f₅=c₅和f₅=d₅中必有一個成立，f₆=c₆和f₆=d₆中必有一個成立，
所以“f_i=c_i（i=3，4，5）中至少有兩個成立”或”f_i=d_i（i=4，5，6）中至少有兩個成立“中必有一個成立，
所以$\sum_{i=1}^{7}$|f_i-c_i|≤2和$\sum_{i=1}^{7}$|f_i-d_i|≤2中必有一個成立．
與題意矛盾，
∴T中的元素個數小于或等于16．

點評 本題考查數列的新定義，求數列的周期，考查反證法的應用，考查學生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關鍵，屬于難題．