Question

6．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ（θ＞0）個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象．若y=g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（$\frac{7π}{12}$，0），求θ的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中函數(shù)的圖象，可分析出函數(shù)的最值，確定A的值，分析出函數(shù)的周期，確定ω的值，將（$\frac{7π}{12}$，-1）代入解析式，結(jié)合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求出φ值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式．
（2）由（1）及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律得g（x），令2x+2θ+$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$-θ，k∈Z，令$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$-θ=$\frac{7π}{12}$，結(jié)合θ＞0即可解得θ的最小值．

解答 解：（1）由圖可得：函數(shù)函數(shù)y=Asin（ωx+ϕ）的最小值-|A|=-1，令A(yù)＞0，則A=1，
又∵$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$，ω＞0，
∴T=π，ω=2，
∴y=sin（2x+φ），
將（$\frac{7π}{12}$，-1）代入y=sin（2x+φ）得sin（$\frac{7π}{6}$+φ）=-1，
即$\frac{7π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），得g（x）=sin（2x+2θ+$\frac{π}{3}$）．
因?yàn)閥=sinx的對(duì)稱中心為（kπ，0），k∈Z．
令2x+2θ+$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$-θ，k∈Z．
由于函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{7π}{12}$，0）成中心對(duì)稱，令：$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$-θ=$\frac{7π}{12}$，
解得θ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{3π}{4}$，k∈Z．由θ＞0可知，當(dāng)k=2時(shí)，θ取得最小值$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律的應(yīng)用，其中關(guān)鍵是要根據(jù)圖象分析出函數(shù)的最值，周期等，進(jìn)而求出A，ω和φ值，屬于中檔題．