Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2|x-1|-|x+2|．
（1）求f（x）≤6的解集．
（2）若f（x）≥m對(duì)任意x∈R恒成立，求m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）通過(guò)對(duì)x范圍的分類討論，去掉函數(shù)f（x）=2|x-1|-|x+2|中的絕對(duì)值符號(hào)，再解相應(yīng)的不等式f（x）≤6，最后取其并集即可；
（2）依題意，可求得f（x）_min=-3，從而可求m的范圍．

解答： 解：（1）∵2|x-1|-|x+2|≤6，
不等式等價(jià)于：

x＜-2 2(1-x)+(x+2)≤6

或

-2≤x≤1 2(1-x)-(x+2)≤6

或

x＞1 2(x-1)-(x+2)≤6

，
等價(jià)于

x＜-2 x≥-2

或

-2≤x≤1 x≥-2

或

x＞1 x≤10

；
∴不等式的解集為[-2，10]；
（2）由（1）知f（x）=

4-x，(x＜-2) -3x，(-2≤x≤1) x-4，(x＞1)

，
當(dāng)x＜-2時(shí)，f（x）=4-x＞6；
當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，f（x）=-3x∈[-3，6]；
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=4-x＞-3，
∴函數(shù)最小值為-3，
∵f（x）≥m對(duì)任意x∈R恒成立，
∴m≤-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．